比较抽象的理论

在科学中，具有最少假设的解释，最有可能是正确的。这个原理被称为“奥卡姆剃刀”，几个世纪以来，这个原理一直指导这理论和实验。但是，抽象的概念要如何进行比较呢？

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其实，这涉及科学哲学中的一个长期讨论的焦点，即如果两个理论具有相同的经验内容，其中的一个理论A的模型，比另一个理论B的模型具有更少的结构，或者说理论A的结构更简约，那么理论A就优于理论B，应该更受青睐。

过去十年间，科学哲学家们已经花了大量的精力，来探讨如何精确地比较“结构的数量”。最常见的一种方法是，通过观察数学对象的对称性来比较结构的数量，如果一个数学对象有更多的对称性，那么直觉上它应该有更少的结构。

在一篇新的论文中，一组科学哲学家就探讨了如何通过比较科学理论的基础数学来衡量一个理论的复杂性。他们试图用对称性来描述一个理论的结构的数量，但最终发现，对称性或许并不能提供他们所需的框架，却是理解结构的绝佳指南。

圆与涂色的半圆

正如前面说的，更对称的对象结构更简单。例如，一个圆有无限多个旋转对称性和镜像对称性，而一个箭头只有一种对称性。从这个意义上说，圆比箭头更简单，可以用更少的数学来描述。

自同构将这个准则扩展到了更抽象的数学上，这些函数可以比较在某种意义上彼此“相同”的数学对象的各个部分，为我们衡量不同理论的结构提供了一个启发式方法，即更复杂的理论具有更少的自同构。

2012年，两位哲学家提出了一种比较不同理论的结构复杂性的方法。当且仅当一个数学对象X的自同构是另一个数学对象Y的自同构的子集时，X的结构至少与Y同样多。比如我们可以比较一个圆与一个一半被涂红的圆，涂色使得系统中增加了额外的结构，因此现在这个被涂了一半颜色的圆只有过去的一部分的对称性。但是，这种方法过于依赖于这些数学对象都具有相同类型的对称性，它对于形状或许很适用，但对更复杂的数学就不适用了。

2021年，新加坡国立大学的IsaacWilhelm试图修正这个问题，他提出，只要我们能找到不同类型的对称群之间的对应关系，就应该能对它们进行比较。例如，给一个蓝图贴上标签就可以在一张图片和一个保留了内部布局的建筑物之间建立对应关系。然而，这种修改虽然使我们能够比较非常不同的数学理论的结构，但它也会产生错误的答案。

具有挑战性的努力

新论文的第一作者是加州大学圣巴巴拉分校的哲学系副教授ThomasBarrett，他认为并不是任何对应都能奏效。他与合著者试图通过限制对称性或自同构的类型，来修补这个问题。他们猜测，或许只有从基础的对象（例如圆和箭头）产生的对应关系，而非它们的对称群产生的对应关系，才是适用的。

然而，这一尝试也失败了。他们意识到，用对称性来比较数学结构似乎是注定要失败的。以一个不对称的形状为例，比如一块墨渍。世界上有不止一种墨迹，它们都是不对称的，而且彼此完全不同。但是，它们都有相同的对称群，即无对称群。然而，所有的这些系统会将墨迹归类为相同的复杂性，即使有些墨迹比其他的要混乱复杂得多。

墨迹的例子表明，我们不能仅仅通过观察对称性来了解一个数学对象的结构复杂性。Barrett解释说，一个对象允许的对称性数量最少可以为0，但它的复杂度却并没有相对应的上限。这种不匹配造成了结构复杂性存在上限的错觉。

在这篇论文中，研究人员指出了问题所在。对称性的概念对于描述结构是很有力的，但它无法捕捉到足够多的关于数学对象及其所代表的科学理论的信息，从而无法对复杂性进行彻底的比较。所以，科学哲学家需要继续寻找能够做到这一点的系统。

一丝希望

虽然对称性可能不能提供哲学家所希望的解决方案，但研究人员认为，对称性抓住了结构比较的一个重要要义，使得它们可以被用来比较不同理论和系统的结构。这也就是为何对称性是一个很好的结构指南，即使哲学家不得不放弃使用自同构来比较结构，这个想法也值得保留。

幸运的是，自同构并不是数学中唯一的对称性。例如，研究人员不仅可以观察整体对称性，还可以观察局域对称性，并对它们进行比较。目前，Barrett正从这个思路进行研究，并试图理解“用一种结构来定义另一种结构”意味着什么。

尽管问题还没有弄清楚，但这篇论文给了哲学家们一个目标，对称性为他们继续研究这个问题提供了一个很好的支点。

#创作团队：

编译：小雨

排版：雯雯

#参考来源：

https://phys.org/news/2023-06-sharpening-occam-razor-perspective-complexity.html

https://link.springer.com/article/10.1007/s11229-023-04186-3

#图片来源：

封面图&首图：TheDigitalArtist / Pixabay